Условие задания:
0 Б.
Пример:
числа вида (\(n\) — натуральное число) называются числами Мерсенна.
а) Верно ли, что для чётных \(\)\(>4\) число Мерсенна всегда можно представить в виде произведения по крайней мере трёх натуральных чисел, больших \(1\)?
б) Верно ли, что существует единственное значение , при котором число Мерсенна можно представить в виде произведения двух простых чисел?
в) Найди наибольшее четырёхзначное простое число Мерсенна.
а) Пусть
Если бы число было бы произведением двух простых чисел, то числа и должны были бы быть простыми.
Однако из трёх чисел , и одно (и притом не ) кратно \(3\).
А поскольку при \(k>2\) оба числа и превосходят \(3\), то хотя бы одно из этих чисел — составное.
Итак, для чётных, больших \(4\), числа являются произведением по крайней мере трёх натуральных чисел, больших \(1\).
б) Первое такое число при \(=4\) найти несложно: . Остальные чётные перебирать не будем (см. п. а).
Перебирая числа при нечётном , найдём . Таким образом получили, что такое число не единственное.
в) Следующим за числом для нечётных идёт число .
Следующее число .
Это простое четырёхзначное число.