Теория:
Решим такую задачу.
Пример:
В портовом городе начинаются два туристских теплоходных рейса, один из которых длится \(12\) суток, а второй — \(15\) суток. Вернувшись в порт, теплоходы в тот же день снова отправятся в рейс. Сегодня из порта вышли два теплохода по этим маршрутам. Через сколько суток впервые они вновь вместе уйдут в плавание?
Решая задачу, приходим к выводу, что число суток, через которое они вновь вместе уйдут в плавание, должно делиться без остатка на \(12\) и на \(15\), т. е. должно быть кратным этим числам.
Выпишем числа, кратные \(12\). Получим: \(12\); \(24\); \(36\); \(48\); \(60\); \(72\); \(84\); \(96\); \(108\); \(120\); \(132\)...
Выпишем числа, кратные \(15\). Получим: \(15\); \(30\); \(45\); \(60\); \(75\); \(90\); \(105\); \(120\); \(135\)...
Общими кратными чисел \(12\) и \(15\) будут числа: \(60\); \(120\)...
Наименьшим из них является число \(60\), т. е. впервые теплоходы вновь вместе уйдут в плавание только через \(60\) суток.
Число \(60\) называют наименьшим общим кратным чисел \(12\) и \(15\).
Наименьшим общим кратным натуральных чисел \(m\) и \(n\) называют наименьшее натуральное число, которое кратно и \(m\), и \(n\).
Наименьшее общее кратное обозначаем \(НОК(m; n)\).
\(НОК(12; 15) = 60\).
Нахождение наименьшего общего кратного применяется при выполнении действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Выполняя эти действия, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел.
Правило нахождения \(НОК\) нескольких чисел:
1. разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.
Пример:
имеем,
В этих разложениях встречаются числа \(2\), \(3\), \(5\).
С наибольшими показателями — это числа .
Поэтому .
Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\) справедливо равенство:
.
Пример:
Покажем это свойство на конкретном примере: